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Tabla simplificada de multiplicación

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Para multiplicar dos números cualesquiera debe tomarse el primer número de las filas y el segundo tomarse de las columnas. Su intersección será el producto que se busca.

Ejemplo 6 x 7 = 42

Tomamos de las filas el 6 y de las columnas el 7. La intersección de dicho proceso es el 42.
Note que si toma 7 de las filas y 6 de las columnas el resultado es el mismo (la multiplicación es conmutativa)

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Demostración del Algoritmo de la Multiplicación (Para números mayores a dos cifras)


Para demostrar el algoritmo completo de la multiplicación deben demostrarse previamente dos teoremas, el primero es el algoritmo de la multiplicación cuando el primer factor es de una cifra y el segundo es la multiplicación por potencias de la base.

Teorema 1

Para multiplicar un número de una cifra por un número de dos o más cifras se procede calcular el producto de la última cifra del segundo factor (el número de más de una cifra) por el primero, si el resultado es de dos cifras entonces la primera cifra se guarda (mentalmente o por escrito pero no se usa) y la segunda se escribe en el resultado, en caso contrario se anota el resultado simple. A continuación se calcula el producto de la segunda cifra del segundo factor por el primero y se le adiciona la cifra guardada. Si este resultado es de más de una cifra se escribe nuevamente solo el segundo dígito a la izquierda del primero que habíamos escrito para el resultado y el primero se guarda, si el resultado es de una cifra se escribe el resultado simple tal como anteriormente. El proceso continúa similarmente hasta que se agoten las cifras del segundo factor.



Demostración del teorema 1

Sea Q el segundo factor (un número de más de una cifra) y sea S el primer factor (número de una sola cifra)
En cualquier base B (que puede ser 10), Q se representa como Q = PnBn + Pn-1Bn-1 … + P2B2 + P1B + P0
Por tanto el producto SxQ = S(PnBn + Pn-1Bn-1 … + P2B2 + P1B + P0)
Por propiedad distributiva SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + P2 SB2 + P1 SB + SP0
Empezando por SP0 = L0B + R0 donde L0 puede ser cero. Se tiene entonces
SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + P2 SB2 + P1 SB + L0B + R0
SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + P2 SB2 + (P1 S + L0)B + R0
De ahí vemos que se guarda L0
Pero luego tenemos P1S + L0 = L1B + R1 donde L1 podría ser cero
SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + P2 SB2 + (L1B + R1)B + R0
SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + P2 SB2 + L1B2 + R1B + R0
SxQ = Pn SBnS+ Pn-1 SBn-1… + (P2 S + L1)B2 + R1B + R0 de ahí vemos que se guarda L1

El proceso puede continuarse guardando las Lk que sean necesarias hasta obtener

SxQ = LnBn+1+RnBn + Rn-1Bn-1 +…+ R2B2 + R1B + R0 donde Ln podría ser cero

Las cifras del resultado serían entonces de derecha a izquierda R0, R1, R2 ,…,Rn, Ln

Para ver un ejemplo del algoritmo en acción visite nuestro artículo de tabla de multiplicar



Teorema 2

Multiplicación por potencias de la base. El producto de un número M por otro, que es la base elevada a la n, es otro número N que tiene la misma representación de M, con n ceros agregados a la derecha.

Demostración del teorema 2

Sea M = mkBk + mk-1Bk-1 + … + m2B2 + m1B + m0
Y sea P = Bn
MxP = N = (mkBk + mk-1Bk-1 + … + m2B2 + m1B + m0) Bn
MxP = N = mkBk+n + mn-1Bk-1+n + … + m2B2+n + m1B1+n + m0 Bn
= mkBk+n + mn-1Bk-1+n + … + m2B2+n + m1B1+n + m0 Bn + 0xBn-1 + 0xBn-2 + …+ 0xB2 + 0xB + 0

Luego tenemos N es M con n ceros a la derecha
Si escribimos este número en notación posicional tenemos N = mkmk-1…m2m1m0000…. (n ceros, el primero que multiplica a Bn-1 y el ultimo a B0).

Algoritmo completo de la multiplicación

Sean M y N dos números cualesquiera de más de una cifra. Nos interesa conocer MxN
Se multiplica M por la última cifra de N; el resultado se llama el primer producto parcial, ahora multiplicamos M por la siguiente cifra de N; el resultado es el segundo producto parcial que se escribe debajo del primero pero desplazado una posición hacía la izquierda. Este proceso se continúa hasta que no tengamos más cifras en N y siempre desplazando los resultados parciales una cifra a la izquierda del inmediatamente anterior. Al final sumamos los resultados parciales y obtenemos el resultado (los espacios vacíos serán considerados como ceros para la suma).


Sea M = mnBn + mn-1Bn-1 + … + m2B2 + m1B + m0 y N = nkBk + nk-1Bk-1 + … + n2B2 + n1B + n0
Luego MxN = M(nkBk + nk-1Bk-1 + … + n2B2 + n1B + n0)
MxN = (Mnk)Bk + (Mnk-1)Bk-1 + … + (Mn2)B2 + (Mn1)B + Mn0

Cualquier producto de Mnr es un producto de un número de una sola cifra por un número de dos cifras que puede realizarse gracias al teorema 1 que anteriormente se demostró. Adicionalmente se tiene que para multiplicar por cualquier potencia B basta con poner a la derecha tantos ceros como lo indique la potencia (tal como se muestra en el teorema 2) Luego los productos parciales Mnr se pueden representar como

Mn0 = pn+1pn….p2p1p0 (cada p representa una cifra)
(Mn1)B = qn+1qn….q2q1q00
(Mn2)B2 = rn+1rn….r2r1r000
Y así sucesivamente hasta tener (Mnk)Bk = sn+1sn….s2s1s00000…0 (con k ceros)

Si sumamos estas cantidades mediante el algoritmo de la suma obtenemos MxN Algoritmo de la suma

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Referencias